Sisällön pääryhmät Luvut Kompleksiluvut [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  reaaliluvut KATSO MYÖS:  polynomien tekijöihin jako,  vektori

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Jotta laskusäännöt olisivat voimassa ja lisäksi olisi i² = -1, on kertolaskun ilmeisestikin tapahduttava seuraavasti:

(x₁, y₁) ^. (x₂, y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂,  x₁y₂ + x₂y₁).

Tällöin on todellakin i² = -1:

i ^. i = (0, 1) ^. (0, 1) = (0 ^. 0 - 1 ^. 1,  0 ^. 1 + 0 ^. 1) = (-1, 0) = -1.

Kaikki tavanomaiset algebran laskusäännöt (yhteen- ja kertolaskun vaihdannaisuus ja liitännäisyys, osittelulait) ovat voimassa, kuten määritelmiin perustuvilla mekaanisilla — tosin paikoin pitkillä — laskuilla voidaan todeta.

Myös jakolasku tulee mahdolliseksi, jos jakaja poikkeaa nollasta, ts. ei ole kompleksiluku (0, 0). Murtoluvuksi kirjoitettu osamäärä on yksinkertaisesti lavennettava nimittäjän liittoluvulla. Esimerkki edempänä.

Kompleksilukuja ei määrittelyn jälkeen ole tapana merkitä lukupareina (x, y), vaan käytetään esitysmuotoa x + yi. Yhteen-, vähennys- ja kertolaskut kompleksilukualgebrassa suoritetaan tällöin tavanomaisilla algebran laskusäännöillä. Tarvittaessa käytetään sieventämiseen yhtälöä i² = -1.

Kaikilta osin ei kompleksiluvuilla laskeminen kuitenkaan suju samoin kuin reaalialueella. Esimerkiksi juurenotossa on oltava varovainen. Mm. neliöjuuren positiivista haaraa ei voida määritellä. Yritys kirjoittaa i = + johtaa ristiriitaan:

-1 = i² = (+)(+) = + = + = +1.

laskulaki (summa ja tulo)  vaihdannaisuus  liitännäisyys  osittelulaki  laventaminen  nimittäjä  juuri (murtopotenssi)  juurifunktio  neliöjuuri

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12