Sisällön pääryhmät Derivaatta Maksimit ja minimit [ 1 2 3 4 5 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot,  derivaatta KATSO MYÖS:  funktion jatkuvuus,  derivointisäännöt,  alkeisfunktioiden derivaatat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Olkoot x₁, ..., x_p positiivilukuja. Näiden aritmeettinen keskiarvo ja geometrinen keskiarvo ovat

Ma = xk = ,

Mg = = .

On osoitettava, että M_a > M_g ja että yhtäsuuruus esiintyy vain, kun kaikki luvut ovat yhtä suuria.

Tarkastellaan funktiota f(x) = x - ln x - 1, missä x > 0. Tämän derivaatta f'(x) = 1 - 1/x on = 0 pisteessä x = 1.

Koska lim_x0+ ln x = - ja standardiraja-arvona lim_xx - ln x =
lim_x ln(e^x/x) = , ovat funktion raja-arvot tarkastelualueen päätepisteissä
lim_x0+f(x) = lim_xf(x) = .

Piste x = 1 antaa siis funktion minimiarvon f(1) = 0, ts. x - ln x - 1 > 0 kaikilla x. Koska muita derivaatan nollakohtia ei ole, minimiarvo saadaan vain tässä pisteessä.

Sovelletaan saatua tulosta lukuihin x_k/M_a ja lasketaan epäyhtälöt puolittain yhteen:

- ln - 1 > 0, k = 1, ..., p,

ja siis

x_k - ln - p > 0.

Lausumalla summa ja tulo keskiarvojen avulla sekä jakamalla luvulla p saadaan

- ln > 0,

mistä seuraa M_a > M_g. Päättelyssä vallitsee yhtäsuuruus, jos alussa sovelletussa epäyhtälössä on x = 1 eli x_k = M_a kaikilla indekseillä k; tämä merkitsee lukujen x_k yhtäsuuruutta.

keskiarvo (aritmeettinen)  keskiarvo (geometrinen)  logaritmifunktio  derivointi (alkeisfunktioiden)  raja-arvo (standardi-, funktion)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12