Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden tarkastelu alkoi jo edellisellä viikolla. Kertaa lineaariyhtälön määrittely ja tavat ratkaista ensimmäisen kertaluvun tapauksessa homogeeninen ja epähomogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö:
Korkeampien kertalukujen lineaariset differentiaaliyhtälöt eivät ole yhtä helposti ratkaistavissa eivätkä välttämättä algebrallisesti lainkaan. Ratkaisuissa esiintyy myös usein ns. erikoisfunktioita, so. funktioita, jotka eivät ole tavallisia alkeisfunktioita. Voidaan kuitenkin osoittaa, että tällaisilla yhtälöillä on olemassa ratkaisu varsin yleisillä oletuksilla. Tästä alempana lisää.
Vaikka ratkaisua ei voidakaan aina helposti laskea, sen rakenne on periaatteessa yksinkertainen:
Funktioiden lineaarinen riippumattomuus on apukäsite, jota tarvitaan:
Vaikka yleistä menettelyä lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi ei olekaan, varsin yleisiä menettelyjä voidaan kuitenkin esittää:
Menettelyt voidaan eräin rajoituksin yleistää myös korkeampiin kertalukuihin, mutta tämä ei enää ole kurssin keskeistä aineistoa. Kiinnostuneet voivat tutkia seuraavaa dokumenttia ja erityisesti sen loppuun linkitettyjä esimerkkejä:
Monissa käytännöllisissä tehtävissä tärkeitä lineaariyhtälötyyppejä ovat vakiokertoiminen yhtälö ja Eulerin yhtälö. Näiden määrittelyt ovat dokumentissa
Kaikissa tähänastisissa tarkasteluissa on jäänyt periaatteessa avoimeksi kysymys alkuarvoprobleeman ratkaisun olemassaolosta. Jos ratkaiseminen onnistuu, asia on tietenkin selvä. Jos ratkaisua ei onnistuta löytämään, se ei vielä osoita, että se ei ole olemassa. Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä voidaan esittää suhteellisen yksinkertaiset lauseet:
Lauseiden todistuksia ei dokumenteissa ole. Niiden pääpiirteet esitetään luennoilla.
Varsin yksikertaisenkin alkuarvoprobleeman ratkaisu ei kuitenkaan välttämättä ole yksikäsitteinen, ts. lauseen oletukset eivät läheskään aina ole voimassa. Ratkaisufunktion määrittelyalue ei ole helposti pääteltävissä suoraan yhtälöstä. Esimerkkejä:
Klassisia oppikirjaesimerkkejä vakiokertoimisista differentiaaliyhtälöistä ovat erilaisten sähköisten piirien mallintamiset. Seuraavista esimerkeistä kaksi ensimmäistä esittävät yksinkertaisimmat perustapaukset. Kolmas osoittaa, miten mallin avulla voidaan analysoida piirin resonansseja, ja neljäs, miten johdutaan käsittelemään vakiokertoimisia differentiaaliyhtälöryhmiä.
Ensisijaisesti kannattaa paneutua kahteen ensimmäiseen esimerkkiin. Muut kaksi ovat pikemminkin osoittamassa mallintamisen merkitystä eikä niiden yksityiskohtainen tutkiminen ole tarpeen.
Samaan tapaan kuin vaihtovirtapiirejä voidaan lineaarisilla vakiokertoimisilla differentiaaliyhtälöillä mallintaa jousisysteemejä. Oheisiin esimerkkeihin liittyy myös värähtelyanimaatioita, jotka on laskettu mallin pohjalta. Näyttävätkö nämä uskottavilta? Miten voitaisiin (periaatteessa) tutkia, vastaako malli todellisuutta?
Kotitehtävät ovat seuraavat:
Ratkaise seuraavat tehtävät Mathematican avulla:
a) Muodosta kolmannen kertaluvun homogeeninen lineaariyhtälö, jolla on ratkaisuina ex, x ja 1/x.
b) Muodosta vastaava epähomogeeninen differentiaaliyhtälö, jossa yhtäläisyysmerkin toisella puolen on termi R(x) = ex (x3 + 2x2 - 6) / (x3 + x2 - x) ja etsi vakioiden varioinnilla sen yleinen ratkaisu. Käytä apuna DelTa-pakettiin sisältyvää Mathematica-dokumenttia.
Kirjoita ratkaisustasi Mathematica-dokumentti ja lähetä se liitetiedostona YY:lle. Viimeinen luovutuspäivä on maanantai 12.3.2001. Tarkista, että dokumenttisi on palautusohjeen mukainen!
Valitse viikon harjoitustehtäväkokoelmasta 3 – 5 erityyppistä tehtävää ja ratkaise ne viikon teoria-asioihin liittyen. Kirjoita lyhyt selostus ratkaisuista ja luovuta sen paperikopio oman harjoitusryhmäsi assistentille viimeistään keskiviikkona 14.3.2001.