Sisällön pääryhmät Geometrian peruskäsitteet Geometria [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:  geometriset probleemat,  piste,  suora

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Eukleideen tasogeometrian aksioomiin kuului myös paralleeliaksiooma: suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan aina piirtää täsmälleen yksi kyseisen suoran suuntainen suora.

Paralleeliaksiooma ei ollut yhtä luonnostaan hyväksyttävissä kuin muut alkeellisemmat aksioomat ja sitä yritettiin todistaa vuosisatojen kuluessa menestyksettä. Ongelma ratkesi vasta 1800-luvulla hieman odottamattomalla tavalla. Ratkaisun esittivät toisistaan riippumatta venäläinen Kazanin yliopiston professori Nikolai Ivanovitš Lobatševski ja unkarilainen matemaatikko Janos Bolyai 1820-luvun lopulla. Samoihin ajatuksiin olivat vuosisadan alkupuolella tulleet muutkin, mm. Carl Friedrich Gauss, mutta hän ei julkaissut ajatuksiaan.

Paralleeliaksioomaa ei onnistuttu todistamaan, vaan osoittautui, että vika oli suoran käsitteessä. Intuitiivinen mielikuva suorasta ei ollutkaan loogisessa mielessä riittävä. Riippuen siitä, mitä suoralla tarkoitetaan, paralleeliaksiooma joko on voimassa tai ei ole. Tämä johti epäeuklidisten geometrioiden syntymiseen. Jos paralleeliaksiooma on voimassa, puhutaan euklidisesta geometriasta; jos se ei ole, kyseessä on epäeuklidinen geometria.

Seurauksena oli geometrian aksioomajärjestelmien tarkempi tutkiminen, mikä mm. johti vuonna 1899 ilmestyneeseen Göttingenin yliopiston professorin David Hilbertin teokseen Grundlagen der Geometrie, jossa esitettiin moderni geometrian aksiomatiikka. Pohjana on tällöin kaksi joukkoa, joista toisen alkioita kutsutaan pisteiksi ja toisen suoriksi. Näillä oletetaan olevan aksioomissa luetellut ominaisuudet.

Geometrian tutkimisessa on käytetty hyväksi myös algebraa. Tämä yleistyi varsinkin René Descartesin töiden jälkeen 1600-luvulta lähtien.

Algebran käyttö on vapauttanut geometrikot tarkastelemasta vain kaksiulotteista taso- tai kolmiulotteista avaruusgeometriaa. Dimensio voi olla aivan hyvin suurempikin, jopa ääretön.

Geometrian aksioomajärjestelmien tutkiminen ja geometrian näkeminen pisteiden ja suorien muodostamiksi joukoiksi ja näiden välisiksi relaatioiksi on johtanut myös abstrakteihin äärellisiin geometrioihin. Näissä on sekä pisteitä että suoria vain äärellinen määrä. Sovellukset löytyvät yllättäviltäkin aloilta, mm. kombinaatioteoriasta.

Eukleides  aksiooma  aksiooma  Lobatševski  Bolyai  Gauss  Hilbert  joukko  geometria  geometria (euklidinen)  geometria (epäeuklidinen)  geometria (euklidinen)  geometria (epäeuklidinen)  geometria (projektiivinen)  geometria (synteettinen)  geometria (analyyttinen)  geometria (vektori-)  geometria (deskriptiivinen)  geometria  algebra  Descartes  dimensio  kombinaatio

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12